Теория массового обслуживания

Расчётник СМО. Что под капотом?

На этой странице будет описание и пояснения к расчёту показателей работы системы массового обслуживания.

Время. В основе расчёта лежит счётчик времени. Время в данной математической модели дискретное, исчисляется в секундах, а точнее в виде целого числа - количестве секунд с начала моделирования. Кнопка «Сброс» под таймером обнуляет этот счётчик и все статистические счётчики и таймеры. Так как время исчисляется в секундах, между двумя соседними событиями время должно быть не менее 1 с. Это накладывает ограничение на величины интенсивностей потока заявок и обслуживания. Нежелательно указывать числа свыше 1800. Для ускорения расчётов, за один проход цикла счётчик увеличивается не на одну секунду, а на время до 10 минут при условии, что за это время не наступает какого-либо события: поступления заявки или завершения обслуживания.

Закон распределения. Интервал времени между поступлением заявок определяется исключительно по экспоненциальному закону. Эта математическая модель была задумана как простенький демонстратор принципа работы СМО, а заодно для отработки программ имитации и визуализации происходящего. Закон распределения времени обслуживания - переключаемый. Экспоненциальный или распределение Эрланга. Это позволяет делать расчёты более интересными и жизненными, не слишком сильно усложняя матмодель. В дальнейшем планируется разработать более совершенный расчётник, в котором можно будет задавать другие законы распределения случайных величин времени.

Имитируемый процесс. Процесс начинается с источника заявок. Со случайным интервалом тот «выплёвывает» заявку. Если в СМО имеется свободный аппарат, заявка сразу поступает на обслуживание - в этот момент определяется продолжительность её обслуживания, аппарат на это время считается занятым. Если же все аппараты заняты, заявка поступает в конец очереди - при этом запоминается время, в которое заявка поступила. Когда аппарат заканчивает обслуживание заявки, он берёт из начала очереди первую (самую давнюю) заявку, т.е. дисциплина ожидания FCFS (First Come — First Serve)

Показатели работы определяются статистически либо по счётчикам событий (поступивших в СМО, попавших в очередь), либо по счётчикам времени (вероятность простоя СМО без единой заявки, длительность ожидания в очереди).

P₀ Вероятность простоя - это отношение времени пребывания системы в состоянии S = 0 (отсутствие заявок на обслуживании и в очереди) ко времени моделирования
P_1-n Загруженность приборов вычисляется более интересным способом. Считаются аппарато-часы (строго говоря, аппарато-секунды), затраченные на обслуживание различных заявок, затем показатель делится на количество обслуживающих приборов. Иными словами, если в течение одной минуты из 4 приборов обслуживанием были заняты 3, счётчик времени обслуживания будет увеличен на 0,75 аппарато-минут. Значение счётчика аппарато-минут делится на время моделирования и определяется средняя загруженность приборов
S_MAX Максимальное количество заявок Определяется по количеству заявок в каждый момент моделирования
P_W Вероятность ожидания Отношение количества заявок, попавших в очередь к количеству заявок, вышедших из источника
T_W Среднее время ожидания Определяется как суммарная продолжительность ожидания всех заявок, покинувших очередь к их количеству. До тех пор, пока заявка не покинет очередь, она не влияет на этот показатель. Также определяется максимальное время, которое какая-либо заявка пребывала в очереди до того момента, как попала в обслуживающий аппарат
P_n Вероятность пребывания в состоянии n Для построения гистограммы учитывается продолжительность пребывания системы в каждом из зафиксированных состояний.
T_W Время ожидания Из гистограммы можно видеть характер распределения времени ожидания. Ширина каждого столбца соответствует продолжительности ожидания 10 секунд, т.е. левый столбец соответствует длительности ожидания от 0 до 9 секунд, второй - от 10 до 19 секунд и т.д.

Параметр	Величина	Пояснение
Исходные данные
λ		в час - Интенсивность потока заявок
P_μ(t)	Эксп. Эрл.	Закон распределения времени обслуживания: экспоненциальный. Подробнее о законах распределения
μ		в час - Интенсивность потока обслуживания (каждым прибором)
k		Масштабный коэффициент
25% за минут 50% за минут 99% за минут 50% в интервале минут 95% в интервале минут
n		Количество каналов обслуживания (не более 50)
Результаты моделирования (на момент)
t		Время моделирования
t		Время моделирования
S		Состояние СМО, т.е. количество заявок на обслуживании + в накопителе
S-n		Длина очереди
Статистика, показатели работы системы
—		Количество поступивших заявок
p₀		Вероятность простоя СМО
P_1-n		Загруженность обслуживающих приборов
S_MAX		Максимальное количество заявок в системе за время моделирования
p_W		Вероятность ожидания
T_W		Среднее время ожидания, мин.
T_Wmax		Максимальное время ожидания, мин.
P_n	Распределение вероятностей пребывания СМО в различных состояниях
T_W	Распределение времени ожидания в очереди